Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx與拋物線y=ax²+c交于A（8，6）、B兩點，點B的橫坐標為-2．
（1）求直線AB和拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB下方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的平行線，與直線AB交于點C，連接PO，設(shè)點P的橫坐標為m．
①若點P在x軸上方，當m為何值時，△POC是等腰三角形；
②若點P在x軸下方，設(shè)△POC的周長為p，求p關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，當m為何值時，△POC的周長最大，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線和直線解析式；
（2）①當△POC是等腰三角形時，判斷出只有OC=PC，設(shè)出點P的坐標用OC=PC建立方程組求解即可；
②先表示出OC，OP，PC，然后建立三角形POC的周長和m的函數(shù)關(guān)系式，確定出最大值．

解答 解：（1）∵直線y=kx經(jīng)過點A（8，6）；
∴8k=6，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴直線解析式為y=$\frac{3}{4}$x，
∵點B在此直線上，點B的橫坐標為-2．
∴點B的縱坐標為-$\frac{3}{2}$，
∴（-2，-$\frac{3}{2}$），
∵拋物線y=ax²+c交于A（8，6）、B（-2，-$\frac{3}{2}$）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{64a+c=6}\\{4a+c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{8}$x²-2；
（2）設(shè)P（m，n），則n=$\frac{1}{8}$m²-2；
∵過點P作x軸的平行線，與直線AB交于點C，
∴點C（$\frac{4}{3}$n，n）；
∴PC=m-$\frac{4}{3}$n，
①當點P在x軸上方時，
∴m＞0，∠OCP是鈍角，
∴OC＜OP，PC＜OP，
∵△POC是等腰三角形，
∴OC=CP，
∵OC=$\frac{5}{3}$n，
∴m-$\frac{4}{3}$n=$\frac{5}{3}$n，
∴m=3n，
∵n=$\frac{1}{8}$m²-2；
∴m=3（$\frac{1}{8}$m²-2）；
∴m=$\frac{4+4\sqrt{10}}{3}$或m=$\frac{4-4\sqrt{10}}{3}$（舍），
∴當m=$\frac{4+4\sqrt{10}}{3}$時，△POC是等腰三角形；
②當點P在x軸下方時，-2＜m＜4，
∴n＜0，
∵P（m，n），則n=$\frac{1}{8}$m²-2；點C（$\frac{4}{3}$n，n）；
∴OC=-$\frac{5}{3}$n，OP=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{8}{m}^{2}-2）^{2}}$=$\frac{1}{8}$m²+2；
∵PC=m-$\frac{4}{3}$n，n=$\frac{1}{8}$m²-2；
∴l(xiāng)=OP+PC+OC
=$\frac{1}{8}$m²+2+m-$\frac{4}{3}$n+（-$\frac{5}{3}$n）
=$\frac{1}{8}$m²+m-3n+2
=$\frac{1}{8}$m²+m-3（$\frac{1}{8}$m²-2）+2
=-$\frac{1}{4}$（m-2）²+9；
∴當m=2時，l_最大=9
∴當m=2時，△POC的周長最大，最大值是9．

點評 此題二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平面內(nèi)兩點間距離公式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的周長，極值的確定，解本題的關(guān)鍵是表示出PC，OC，OP的長．