Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（，）的拋物線交y軸于點(diǎn)C（0，-2），交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．P點(diǎn)是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，Q點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí)，△POA與△ABC相似？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)以A、B、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為y=a（x-）²-，將點(diǎn)C（0，-2）代入求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）先求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式計(jì)算出AC、AB、BC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得到比例式，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）分三種情況：①Q(mào)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-5；②Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5；③Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1+4=3；代入拋物線的解析式求出它們的縱坐標(biāo)，從而求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)拋物線為y=a（x-）²-，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2），
∴-2=a（0-）²-，
a=．
∴拋物線為；

（2）在原解析式中，令y=0，則x²-x-2=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
則點(diǎn)A為（-1，0），點(diǎn)B為（4，0），
則AB=5，AC=，BC=2，
∵（）²+（2）²=5²，
∴△ACB是直角三角形，
①設(shè)OP的長(zhǎng)為x，則有
=，
解得x=2；
②設(shè)OP的長(zhǎng)為y，則有
=，
解得y=；
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，±2），（0，±）；

（3）因?yàn)橐訟、B、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
所以分三種情況：
①Q(mào)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-5，y=×（-5）²-×（-5）-2=18；
②Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，y=×5²-×5-2=3；
③Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1+4=3，y=×3²-×3-2=-2．
所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，18），（5，3），（3，-2）．
點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式．同時(shí)考查了三角形相似的性質(zhì)，需注意分類討論，全面考慮點(diǎn)P和點(diǎn)Q所在位置的各種情況．