Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4，點M是AD的中點，△MBC是等邊三角形．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）動點P、Q分別在線段BC和MC上運動，且∠MPQ=60°保持不變．設PC=x，MQ=y，求y與x的函數關系式；
（3）在（2）中當y取最小值時，判斷△PQC的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵△MBC是等邊三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．
∵M是AD中點，
∴AM=MD．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC．
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）解：在等邊△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，
∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．
∴△BMP∽△CQP．
∴．
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4-x，QC=4-y．
∴．
∴y=x²-x+4．

（3）解：△PQC為直角三角形，
理由是：
∵y=（x-2）²+3，
∴當y取最小值時，x=PC=2．
∴P是BC的中點，MP⊥BC而∠MPQ=60°．
∴∠CPQ=30°．
∴∠PQC=90°．
∴△PQC為直角三角形．
分析：（1）要證梯形ABCD是等腰梯形，只需證△AMB≌△DMC．
（2）由△BMP∽△CQP，可得到BP與CQ的關系，從而轉化成y與x的函數關系式．
（3）先利用二次函數求最值，求出y取最小值時x的值和y的最小值，從而確定P、Q的位置，判斷出△PQC的形狀．
點評：主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來．