Question

如圖①．直線y=x-3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，且

OA

OC

=

1

3

．拋物線經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＜0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接PC、PB（如圖①），△PBC是否有最大面積？若有，求出△PBC的最大面積和此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）D為線段AB中點(diǎn)，連結(jié)DP交BC于點(diǎn)E．連結(jié)AC（如圖②），若以B，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用交點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）求出△PBC的最大面積，可以聯(lián)系二次函數(shù)的最值問(wèn)題，分割圖形求出即可；
（3）利用①當(dāng)DE∥AC，則△BDE∽△BAC，②當(dāng)∠BED=∠BAC，△BDE∽△BCA，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得-3a=-3，
解得a=1．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）如圖①所示：
作PF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)△PBC的面積為S，則
S=S_{四邊形OCPF}+S_△PFB-S_△OBC
=

1

2

（3-n）m+

1

2

（3-m）（-n）-

1

2

×3×3，
=

3

2

m-

3

2

n-

9

2

，
又∵點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，
且m＞0，n＜0
∴n=m²-2m-3（0＜m＜3）
∴S=-

3

2

m²+

9

2

m
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

∴當(dāng)m=

3

2

時(shí)，△PBC的面積最大，最大面積為

27

8

，
把x=m=

3

2

代入y=x²-2x-3=（

3

2

）²-2×

3

2

-3=-

15

4

，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，-

15

4

）；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴

BD

AB

=

BE

EC

，
∵D為AB中點(diǎn)，
∴E點(diǎn)為BC中點(diǎn)，
∴E（

3

2

，-

3

2

）
∴設(shè)DE所在解析式為：y=kx+b，
∴

k+b=0 3 2 k+b=- 3 2

，
解得：

k=-3 b=3

，
∴DE所在解析式為：y=-3x+3，
則-3x+3=x²-2x-3，
解得：x₁=2，x₂=-3（不合題意舍去），
∴P₁（2，-3）；
②當(dāng)∠BED=∠BAC，
∴△BDE∽△BCA，
同理可得出：P₂（

5

，2-2

5

），
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，-3），（

5

，2-2

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)最值問(wèn)題，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)．