Question

如圖①，A、D分別在x軸和y軸上，CD∥x軸，BC∥y軸．點P從D點出發(fā)，以1cm/s的速度，沿五邊形OABCD的邊勻速運動一周．記順次聯(lián)結(jié)P、O、D三點所圍成圖形的面積為Scm²，點P運動的時間為t s．已知S與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖②中折線段OEFGHI所示．

閱讀理解，并回答下列問題：
（1）從圖②點E可以看出剛開始的時候，隨著點P的運動，面積S并沒有發(fā)生變化，由此可以判斷點P的運動方向為

 

（填入順時針或逆時針）
（2）從圖②點F（6，4）可以得到：OD+OA=6；

1

2

OD×OA=4，且OD＞3．由此可以得到OD、OA的長度，進一步分析，可以求得A、B兩點的坐標(biāo)：A（

 

，

 

）、B（

 

，

 

）；
（3）探究1：是否存在某一時刻，直線PD將五邊形OABCD分成周長相等的兩部分？如果存在，簡要說明這時點P的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．
（4）探究2：是否存在某一時刻，直線PD將五邊形OABCD分成面積相等的兩部分？如果存在，求出直線PD的函數(shù)解析式；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)從圖②點E可以看出剛開始的時候，隨著點P的運動，面積S并沒有發(fā)生變化，故點P在OD上，由此即可得出結(jié)論；
（2）先連接AD，設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，0），由圖2得出DO=6-AO和S_△AOD=4，即可得出

1

2

DO•AO=4，從而得出a的值，再根據(jù)圖2得出A的坐標(biāo)，再延長CB交x軸于M，根據(jù)D點的坐標(biāo)得出AB=5cm，CB=1cm，即可求出AM=

AB2-MB2

=4，從而得出點B的坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)ABCD的坐標(biāo)求出AB，BC，CD，OD，OA的長，進而可判斷出P點的位置，過點P作PK⊥x軸，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出PK的長，進而得出P點坐標(biāo)；
（4）先設(shè)點P（x，y），連PC、PO，得出S_{四邊形DPBC}的面積，再進行整理，即可得出x與y的關(guān)系，再由A，B點的坐標(biāo)，求出直線AB的函數(shù)關(guān)系式，從而求出x、y的值，即可得出P點的坐標(biāo)，再設(shè)直線PD的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+4，求出K的值，即可得出直線PD的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵從圖②點E可以看出剛開始的時候，隨著點P的運動，面積S并沒有發(fā)生變化，
∴點P在OD上，
∵點P從D點出發(fā)，以1cm/s的速度沿五邊形OABCD的邊勻速運動一周，
∴點P的運動方向為逆時針．
故答案為：逆時針；

（2）連接AD，設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，0），
由圖2知，DO+OA=6cm，則DO=6-AO=6-a，
由圖2知S_△AOD=4，
∴

1

2

DO•AO=

1

2

a（6-a）=4，
整理得：a²-6a+8=0，
解得a=2或a=4，
由圖2知，DO＞3，
∴AO＜3，
∴a=2，
∴A的坐標(biāo)為（2，0），
D點坐標(biāo)為（0，4），
在圖1中，延長CB交x軸于M，
由圖2，知AB=5cm，CB=1cm，
∴MB=3，
∴AM=

AB2-MB2

=4．
∴OM=6，
∴B點坐標(biāo)為（6，3）．
故答案為：（2，0 ）、（ 6，3 ）；

（3）存在．
理由：∵由（1）知，A（2，0），B（6，3），D（0，4），
∴C（6，4），
∴OA=2，AB=5，BC=1，CD=6，OD=4，
∴五邊形OABCD的周長=2+5+1+6+4=18，
∵直線PD將五邊形OABCD分成周長相等的兩部分，
∴點P在線段AB上，且距點B2個單位長度，
∴AP=3，
∴

AP

AB

=

PK

BM

，即

3

5

=

PK

3

，解得PK=

9

5

，
∴AK=

AP2-PK2

=

32-( 9 5 )2

=

12

5

，
∵OA=2，
∴OK=2+

12

5

=

22

5

，
∴P（

22

5

，

9

5

）；

（4）存在．
理由：如圖3，∵P在OA、BC、CD上時，直線PD都不能將五邊形OABCD分成面積相等的兩部分，
∴只有點P一定在AB上時，才能將五邊形OABCD分成面積相等的兩部分，
設(shè)點P（x，y），連PC、PO，則
S_{四邊形DPBC}=S_△DPC+S_△PBC=

1

2

S_{五邊形OABCD}=

1

2

（S_矩形OMCD-S_△ABM）=9，
∴

1

2

6×（4-y）+

1

2

×1×（6-x）=9，
即x+6y=12，
同理，由S_{四邊形DPAO}=9可得2x+y=9，
由

x+6y=12 2x+y=9

，
解得x=

42

11

，y=

15

11

．
∴P（

42

11

，

15

11

），
設(shè)直線PD的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+4（k≠0），
則

15

11

=

42

11

k+4，
∴k=-

29

42

，
∴直線PD的函數(shù)關(guān)系式為y=-

29

42

x+4．

點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到動點問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，是難點，也是中考的重點，需熟練掌握．