Question

11．如圖，已知在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，AE＞DE，BE=BC．
（1）試說明CE平分∠BED．
（2）若AB=3，BC=5，求CE的長(zhǎng)．
（3）在直線AD上是否存在點(diǎn)F，使得以B，C，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？如果存在，試畫出點(diǎn)F的位置，并作適當(dāng)說明；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠D=90°，AD∥BC，AD=BC，CD=AB，由平行線的性質(zhì)得出∠DEC=∠BCE，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BCE=∠BEC，證出∠DEC=∠BEC，即可得出結(jié)論．
（2）由勾股定理求出AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=4，得出DE=AD-AE=1，再由勾股定理求出CE即可；
（3）作BF⊥CE，交直線AD于F，由等腰三角形的性質(zhì)得出BF平分CE，BF平分∠CBE，由垂直平分線的性質(zhì)得出EF=CF，證出∠EFB=∠EBF，得出BE=EF，因此BE=BC=EF=CF，即可得出四邊形BCFE是菱形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AD∥BC，AD=BC，CD=AB，
∴∠DEC=∠BCE，
∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠DEC=∠BEC，
∴CE平分∠BED．
（2）解：∵∠A=90°，AB=3，BE=BC=5，
∴AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
∵AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=1，
∵CD=AB=3，∠D=90°，
∴CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
（3）解：在直線AD上存在點(diǎn)F，使得以B，C，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；
作BF⊥CE，交直線AD于F，如圖所示：
理由如下：
∵BE=BC，BF⊥CE，
∴BF平分CE，BF平分∠CBE，
∴EF=CF，
∵AF∥BC，
∴∠EFB=∠CBF，
∴∠EFB=∠EBF，
∴BE=EF，
∴BE=BC=EF=CF，
∴四邊形BCFE是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、菱形的判定等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．