Question

如圖，△ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，且交于H，G為BH的中點，F(xiàn)為AC中點，且∠ABC=45°，求證：DG=DF，DG⊥DF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：易證BD=AD和∠DBH=∠CAD，即可證明∴△CAD≌△HBD，可得BH=AC，CD=DH，∠BHD=∠ACD，即可求得DG=DF，即可證明△CDF≌△HDG，可得∠GDH=∠CDF，根據(jù)∠CDF+∠ADF=90°即可解題．

解答：證明：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴BD=AD，
∵∠DBH+∠BHD=90°，∠AHE+∠CAD=90°，∠AHE=∠BHD，
∴∠DBH=∠CAD，
在△CAD和△HBD中，

∠DBH=∠CAD BD=AD ∠BDH=∠ADC=90°

，
∴△CAD≌△HBD（ASA），
∴BH=AC，CD=DH，∠BHD=∠ACD，
∵G為BH的中點，F(xiàn)為AC中點，
∴DG=

1

2

BH，DF=

1

2

AC，HG=CF，
∴DG=DF，
在△CDF和△HDG中，

CD=DH ∠ACD=∠BHD CF=HG

，
∴△CDF≌△HDG（SAS），
∴∠GDH=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠GDH+∠ADF=90°，即∠GDF=90°，
∴DG⊥DF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△CAD≌△HBD和△CDF≌△HDG是解題的關(guān)鍵．