Question

已知一元二次方程ax²+bx+c=0．
（1）若a=1，b、c是一枚六個面分別標有1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次出現(xiàn)的點數(shù)，求方程有實數(shù)根的概率；
（2）若b=-a，c=a-3，且方程有實數(shù)根，求方程至少有一個非負實數(shù)根的概率．

Answer 1

考點：列表法與樹狀圖法,根的判別式

專題：

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生所包含的事件數(shù)36，滿足條件的事件是當a=1時ax²+bx+c=0，變?yōu)閤²+bx+c=0方程有實數(shù)解得b²-4c≥0 顯然b≠1，列舉出所有的事件，得到概率．
（2）由題意知本題是一個幾何概型，試驗發(fā)生包含的事件是A隨機的取實數(shù)使方程有實數(shù)根，根據(jù)一元二次方程判別式得到a的范圍，滿足條件的事件是使得方程有至少有一個非負實數(shù)根，根據(jù)對立事件的概率得到結(jié)果．

解答：解：（1）列表得：

（1，6）	（2，6）	（3，6）	（4，6）	（5，6）	（6，6）
（1，5）	（2，5）	（3，5）	（4，5）	（5，5）	（6，5）
（1，4）	（2，4）	（3，4）	（4，4）	（5，4）	（6，4）
（1，3）	（2，3）	（3，3）	（4，3）	（5，3）	（6，3）
（1，2）	（2，2）	（3，2）	（4，2）	（5，2）	（6，2）
（1，1）	（2，1）	（3，1）	（4，1）	（5，1）	（6，1）

∴一共有36種情況，
∵a=1，當b²-4ac=b²-4c≥0時，有實根，
∴方程有實數(shù)根的有19種情況，
∴方程有實數(shù)根的概率為：

19

36

；

（2）∵b=-a，c=a-3，且方程有實數(shù)根，
∴a≠0，△=b²-4ac=a²-4a（a-3）≥0，
∴0＜a≤4
∵方程有兩個負數(shù)根的條件是：a≠0，△=a²-4a（a-3）≥0，

a-3

a

＞0，
∴3＜A≤4
故方程有兩個負數(shù)根的概率是

4-3

4-0

=

1

4

，
∴方程至少有一個非負實數(shù)根的概率為：1-

1

4

=

3

4

．

點評：本題考查列表法與樹狀圖法求概率，一元二次方程實根分布，是一個綜合題，解題的關(guān)鍵是對于一元二次方程的解的情況的分析，解題時有一定難度．