Question

15．如圖，把Rt△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△DFC，若直線DF垂直平分AB，垂足為點(diǎn)E，連接BF，CE，且BC=2．下面四個(gè)結(jié)論：
①BF=$2\sqrt{2}$；
②∠CBF=45°；
③∠CED=30°；
④△ECD的面積為$2\sqrt{2}+3$，
其中正確的結(jié)論有①②④．

Answer 1

分析 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CF=CB=2，∠BCF=90°，則可得△CBF為等腰直角三角形，于是可對(duì)①②進(jìn)行判斷；由于直線DF垂直平分AB，則FA=FB，BE=AE，于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠ECA=∠A=22.5°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠CEF，從而可對(duì)③進(jìn)行判斷；作EH⊥BD于H，如圖，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得EH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+1，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得CD=CA=2+2$\sqrt{2}$，則利用三角形面積公式可計(jì)算出△ECD的面積，從而可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答 解：∵把Rt△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△DFC，
∴CF=CB=2，∠BCF=90°，
∴△CBF為等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{2}$，∠CBF=45°，所以①②正確；
∵直線DF垂直平分AB，
∴FA=FB，BE=AE，
∴∠A=∠ABF，
而∠BFC=∠A+∠ABF=45°，
∴∠A=22.5°，
∵CE為斜邊AB上的中線，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠A=22.5°，
∴∠CEF=180°-90°-2×22.5°=45°，所以③錯(cuò)誤；
作EH⊥BD于H，如圖，
∵把Rt△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△DFC，
∴CD=CA=2+2$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴EH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+1，
∴△ECD的面積=$\frac{1}{2}$•（$\sqrt{2}$+1）•（2+2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+3，所以④正確．
故答案為①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．求出點(diǎn)E到CD的距離是判斷④的關(guān)鍵．