Question

（2013•海珠區(qū)一模）隨著經(jīng)濟發(fā)展，污染問題日益嚴重．某環(huán)保廠家看到這個商機，以200萬元購買了某項空氣凈化產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，再投入280萬元購買生產(chǎn)設(shè)備進行該產(chǎn)品的生產(chǎn)．已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本價為每件30元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的銷售單價定在40到50元之間較為合理，并且該產(chǎn)品的年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系如圖所示．
（1）請根據(jù)圖象直接寫出銷售單價是45元時的年銷售量；
（2）求出年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求該公司第一年的年獲利W（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；并說明投資的第一年，銷售單價定為多少時該廠家能獲得最大盈利？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象，找出單價45元時對應(yīng)的y值；
（2）分別在圖象上找出當40＜x＜45和45＜x＜50時點的坐標，設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，代入點的坐標，求出函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)年獲利=銷售量×（單價-成本價）-200-280列出函數(shù)關(guān)系式，求出最大盈利即可．

解答：解：（1）根據(jù)圖象可得：銷售單價是45元時的年銷售量是30萬件．  

（2）當40≤x≤45時，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
分別代入（40，40）和（45，30），
得：

40k+b=40 45k+b=30

，
解得：

k=-2 b=120

，
故函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x+120；
當45＜x≤50時，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n，
分別代入（45，30）和（50，25），
得：

45m+n=30 50m+n=25

，
解得：

m=-1 n=75

，
故函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+75；
所以年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=

-2x+120(40≤x≤45) -x+75(45＜x≤50)

；

（3）該公司第一年的年獲利W（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
W=（x-30）y-200-280=

-2x2+180x-4080(40≤x≤45) -x2+105x-2730(45＜x≤50)

，
當40≤x≤45時，
W=-2x²+180x-4080=-2（x-45）²-30，
開口向下，有最大值，
當x=45時，W_max=-30，
故此時廠家不管如何定銷售單價，都不可能盈利，
當45＜x≤50時，
W=-x²+105x-2730=-（x-52.5）²+26，
開口向下，對稱軸為x=52.5，
故當x=50時，W有最大值W_max=20，
答：銷售單價定為50元時，廠家能獲得最大盈利，最大利潤是20萬元．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及到分段函數(shù)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形求出x的不同范圍時的不同解析式，并熟練掌握運用配方法求二次函數(shù)的最大值．