Question

2．已知拋物線y=-x²+2x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為P．
（1）求四邊形OAPC的面積；
（2）判斷△PCA的形狀，并說(shuō)明埋由；
（3）△COB與△PCA相似嗎？如果相似，請(qǐng)證明：如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接用坐標(biāo)軸上，點(diǎn)的特點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可；再用坐標(biāo)系中幾何圖形的面積計(jì)算方法直接計(jì)算即可；
（2）用勾股定理逆定理直接判斷即可；
（3）用三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似判斷即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+2x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，
∴A（3，0），B（-1，0），C（0，3），頂點(diǎn)P（1，4），
∴直線AC的解析式為y=-x+3，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=2，
∴S_{四邊形OAPC}=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（4-2）×1+$\frac{1}{2}$（4-2）×2=$\frac{15}{2}$；
（2）由（1）知，A（3，0），C（0，3），P（1，4），
∴AC²=18，AP²=4+16=20，CP²=2，
∴AP²=AC²+CP²，
∴△ACP是直角三角形，
（3）△COB∽△ACP．
證明：由（2）知，AC=3$\sqrt{2}$，AP=2$\sqrt{5}$，CP=$\sqrt{2}$，
由（1）知，B（-1，0），C（0，3），
∴OB=1，OC=3，BC=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{CP}{OB}=\sqrt{2}$，$\frac{AC}{OC}=\frac{3\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$，$\frac{AP}{BC}=\sqrt{2}$
∴$\frac{CP}{OB}=\frac{AC}{OC}=\frac{AP}{BC}$，
∴△COB∽△ACP．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，和頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，幾何圖形面積的計(jì)算方法，勾股定理逆定理，相似三角形的判定，是一道比較簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合的題目．