Question

（2002•上海模擬）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，求

AD

AB

的值．

Answer 1

分析：首先過點C作CE⊥BA交BA延長線于點E，過點D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，由AB=3，AC=2，∠BAC=120°，易求得EC的長，繼而求得△ABC的面積，又由AD是∠BAC的角平分線，由角平分線的性質，可得DF=DG，繼而求得DF的長，然后求得AD的長，繼而求得答案．

解答：解：過點C作CE⊥BA交BA延長線于點E，過點D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，
∵AB=3，AC=2，∠BAC=120°，
∴∠EAC=60°，
∴AE=AC•cos∠EAC=2×

1

2

=1，EC=AC•sin∠EAC=2×

3

2

=

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•EC=

1

2

×3×

3

=

3 3

2

，
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴DF=DG，∠FAD=

1

2

∠BAC=60°，
∴S_△ABC=

1

2

AB•DF+

1

2

AC•DG=

1

2

DF（AB+AC）=

1

2

×DF×（2+3）=

3 3

2

，
∴DF=

3 3

5

，
∴在Rt△ADF中，AD=

DF

sin∠FAD

=

3 3 5

3 2

=

6

5

，
∴

AD

AB

=

6 5

3

=

2

5

．

點評：此題考查了三角形的面積問題、直角三角形的性質、角平分線的性質以及三角函數(shù)的定義．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關鍵．