Question

如圖，已知拋物線y=ax2-

4 3

3

x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，且Rt△AOC∽R(shí)t△COB，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線的解析式求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得a的值，即拋物線y=ax2-

4 3

3

x+3的解析式；然后由一元二次方程

1

3

x²-

4 3

3

x+3=0的根與系數(shù)的關(guān)系可以求得AB的長(zhǎng)度；最后根據(jù)三角形的面積公式即可求得△ABC的面積．

解答：解：設(shè)拋物線y=ax2-

4 3

3

x+3與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x₁，0）、（x₂，0）．
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴拋物線y=ax2-

4 3

3

x+3與y的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
∵Rt△AOC∽R(shí)t△COB，
∴OC²=OA•OB（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例），
∴OC²=x₁•x₂，即3²=

3

a

，
解得，a₁=

1

3

，或a₂=-

1

3

（不合題意，舍去），
故該拋物線的解析式為：y=

1

3

x²-

4 3

3

x+3．
令y=0，則

1

3

x²-

4 3

3

x+3=0，
解得x₁+x₂=4

3

，x₁•x₂=9，
則AB=|x₂-x₁|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

3

，
故S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×2

3

×3=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、拋物線與x軸的交點(diǎn)．注意，該題中a的符號(hào)需根據(jù)拋物線的開口方向來確定．