Question

如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，），點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在OA上，且AH=，過(guò)點(diǎn)H且平行于y軸的HG與EB交于點(diǎn)G，現(xiàn)將矩形折疊，使頂點(diǎn)C落在HG上，并與HG上的點(diǎn)D重合，折痕為EF，點(diǎn)F為折痕與y軸的交點(diǎn)．

（1）求∠CEF的度數(shù)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求折痕EF所在直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若點(diǎn)P在直線(xiàn)EF上，當(dāng)△PFD為等腰三角形時(shí)，試問(wèn)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有幾個(gè)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并寫(xiě)出解答過(guò)程．

Answer 1

解：（1）∵E是BC的中點(diǎn)，
∴EC=EB==1．
∵△FCE與△FDE關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng)，
∴△FCE≌△FDE，
∴ED=EC=1，∠FCE=∠FDE=90°，DF=CF．
∵AH=，
∴EG=EB-AH=1-=．
∵cos∠GED==，
∴∠GED=60°．
∴∠DEC=180°-60°=120°．
∵∠DEF=∠CEF
∴∠CEF==60°．
在Rt△GED中，由勾股定理得：
DG²=ED²-EG²=1-=
∴DG=
DH=AB-DG=2-=
OH=OA-AH=2-=
故D（-，）

（2）∵∠CEF═60°
∴CF=ECtan60°=
∴OF=OC-CF=2-=
∴F（0，），E（-1，2）
設(shè)EF所在直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，由圖象，得
，
解得：
故EF所在直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：y=-x+；

（3）∵DF=CF=點(diǎn)P在直線(xiàn)EF上，
∴當(dāng)△PFD為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況：
（a）P₁F=DF=，
可令P₁（t，-t+），則：
P₁F²=3
∴由兩點(diǎn)間的距離公式為：
（t-0）²+（-t+-）²=3
∴t²+3t²=3
∴t²=，
∴t₁=-，t₂=
∴P₁（-，+）； P₃（，-+）
（b） PD=DF=時(shí)，
仍令P（t，-t+），注意D（-，），則：
PD²=3
∴（t+）²+（-t+-）²=3
∴t²+3t++3t²+3t+=3
∴4t²+6t=0
∴t₁=0，t₂=-
∵t₁=0對(duì)應(yīng)F點(diǎn)，此時(shí)不構(gòu)成三角形，故舍去．
∴P₄（-，）
（c）當(dāng) PD=PF
仍令P（t，-t+），注意D（-，），F(xiàn)（0，），則：
PD²=PF²
∴（t+）²+（-t+-）²=（t-0）²+（-t+-）²，
∴t²+3t++3t²+3t+=t²+3t²
∴6t+3=0
∴t=-
∴P₄（-，）．
故滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有4個(gè)．分別是：（）、（）、（）、（）．
分析：（1）由條件可以求出EC=EB=1，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以求出ED=1，利用三角函數(shù)值求出∠GED的度數(shù)，從而可以求出∠CEF的度數(shù)，利用勾股定理DG的值就可以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用三角函數(shù)值求出CF的值，從而求出F的坐標(biāo)，設(shè)出直線(xiàn)EF的解析式，直接利用待定系數(shù)法求出其解析式就可以了；
（3）如圖2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用及等腰的三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，在解答時(shí)求出直線(xiàn)EF的解析式時(shí)關(guān)鍵．