Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，點E、F分別在AC、AB上，連接EF，將△ABC沿EF折疊，使點A落在BC邊上的點D處．若△DEF有一邊垂直BC，則EF＝_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分兩種情況：①當(dāng)DF⊥BC時，則DF∥AC，結(jié)合折疊的性質(zhì)證出DE=DF=AF=AE，設(shè)DE=DF=AF=AE=x，由平行線得出△BDF∽△BCA，解得，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，得出，，作FG⊥AE于G，由勾股定理求出AG，再由勾股定理即可得出結(jié)果；

②當(dāng)DE⊥BC時，此時D與C重合，E為AC的中點，F為AB的中點，由三角形中位線定理得出答案．

分兩種情況：

①當(dāng)DF⊥BC時，如圖1所示：

則DF∥AC，

∴∠DFE=∠AEF，

∵∠ACB=90°，AC=4，AB=5，

∴，

由折疊的性質(zhì)得：，

∴，

∴，

∴，

設(shè)，

∵DF∥AC，

∴，

∴，

∴，

解得：，

在中，，

∴，

即：，

解得：或(舍去)，

∴，，

∴，

作FG⊥AE于G，

則，

∴，

∴，

∴；

②當(dāng)DE⊥BC時，如圖2所示：

此時D與C重合，E為AC的中點，F為AB的中點，

∴EF為△ABC的中位線，

∴；

綜上所述，若△DEF有一邊垂直BC，則EF為或；

故答案為：或．