Question

16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為斜邊AB的中點，BC=6，CD=5，過點A作AE⊥AD且AE=AD，過點E作EF垂直于AC邊所在的直線，垂足為點F，連接DF，請你畫出圖形，并直接寫出線段DF的長．

Answer 1

分析 分兩種情況：①點E在CF上方，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AC=8，作DG⊥AC可得AG=4、DG=3，再證△EAF≌△ADG可得AF=DG=3，即GF=7，由勾股定理即可得答案；②點E在AC下方時，與①同理可得．

解答 解：①如圖1，當點E在CF上方時，

∵點D為斜邊AB的中點，BC=6，CD=5，
∴CD=AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴AB=10，AC=8，
過點D作DG⊥AC于G，
∴AG=CG=$\frac{1}{2}$AC=4，DG=$\frac{1}{2}$BC=3，∠EFA=∠AGD=90°，
∴∠EAF+∠AEF=90°，
又∵AE⊥AD，
∴∠EAF+∠DAG=90°，
∴∠AEF=∠DAG，
在△EAF和△ADG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EFA=∠AGD}\\{∠AEF=∠DAG}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△ADG（AAS），
∴AF=DG=3，
∴在Rt△DFG中，DF=$\sqrt{F{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{58}$；

②如圖2，當點E在AC下方時，作DH⊥AC于H，

與①同理可得△DAH≌△AEF，
∴AF=DH=3，
∴FH=AH-AF=1，
則DF=$\sqrt{D{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
綜上，DF的長為$\sqrt{58}$或$\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)建了全等三角形，并且將待求線段放到直角三角形中去求是解題的關(guān)鍵，兩種情況是容易遺漏的．