Question

6．如圖，點(diǎn)A是x軸非負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4），M是線段AB的中點(diǎn)，將點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為F，過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線與直線CF相交于點(diǎn)E，連接AC，BC，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t．
（Ⅰ）當(dāng)t=2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)△BCE的面積為S，當(dāng)點(diǎn)C在線段EF上時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)t為何值時(shí)，BC+CA取得最小值．

Answer 1

分析 （I）作輔助線，分別求OG和MG的長(zhǎng)即可；
（II）如圖1，同理可求得AG和OG的長(zhǎng)，證明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=$\frac{1}{2}$t，AF=MG=2，分別表示EC和BE的長(zhǎng)，代入面積公式可求得S與t的關(guān)系式；并求其t的取值范圍；
（III）證明△ABO∽△CAF，根據(jù)勾股定理表示AC和BC的長(zhǎng)，計(jì)算其和，根據(jù)二次根式的意義得出當(dāng)t=0時(shí)，值最小．

解答 解：（I）如圖1，過(guò)M作MG⊥OF于G，
∴MG∥OB，
當(dāng)t=2時(shí)，OA=2，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴G是AO的中點(diǎn)，
∴OG=$\frac{1}{2}$OA=1，MG是△AOB的中位線，
∴MG=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴M（1，2）；

（II）如圖1，同理得：OG=AG=$\frac{1}{2}$t，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAF=90°，
∵∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠BAO=∠ACF，
∵∠MGA=∠AFC=90°，MA=AC，
∴△AMG≌△CAF，
∴AG=CF=$\frac{1}{2}$t，AF=MG=2，
∴EC=4-$\frac{1}{2}$t，BE=OF=t+2，
∴S=S_△BCE=$\frac{1}{2}$EC•BE=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{1}{2}$t）（t+2）=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4；
當(dāng)A與O重合，C與F重合，如圖2，此時(shí)t=0，
當(dāng)C與E重合時(shí)，如圖3，AG=EF，
即$\frac{1}{2}$t=4，
t=8，
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4（0≤t≤8）；

（III）如圖1，易得△ABO∽△CAF，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{OB}{AF}=\frac{OA}{FC}$=2，
∴AF=2，CF=$\frac{1}{2}$t，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{1}{2}t）^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{1}{4}{t}^{2}}$，
BC=$\sqrt{B{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{（t+2）^{2}+（4-\frac{1}{2}t）^{2}}$=$\sqrt{5（\frac{1}{4}{t}^{2}+4）}$，
∴BC+AC=（$\sqrt{5}$+1）$\sqrt{\frac{1}{4}{t}^{2}+4}$，
∴當(dāng)t=0時(shí)，BC+AC有最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)平面內(nèi)幾何圖形的多種性質(zhì)，難度適中．涉及到的知識(shí)點(diǎn)包括相似三角形、全等三角形、點(diǎn)的坐標(biāo)、幾何變換（旋轉(zhuǎn)）、三角形的中位線等，第（3）問(wèn)還考查了幾何圖形的空間想象能力．本題涉及考點(diǎn)眾多，內(nèi)涵豐富，對(duì)考生的數(shù)學(xué)綜合能力要求較高．