Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，線段OP與弦AC垂直并相交于點D，OP與弧AC相交于點E，連接BC．
（1）求證：∠PAC=∠B；
（2）若BC=6，⊙O半徑為5，求PA的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）由PA為圓O的切線，且AB為直角，利用切線的性質(zhì)及直角所對的圓周角為直角，得到兩個角為直角，利用同角的余角相等即可得證；
（2）在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理求出AC的長，根據(jù)（1）的結(jié)論，再由一對直角相等，得到三角形PAD與三角形ABC相似，由相似得比例根據(jù)AB，AD以及BC的長，即可確定出PA的長．

解答：（1）證明：∵PA為圓O的切線，且AB為直徑，
∴∠PAO=90°，∠C=90°，
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC=∠B；
（2）解：在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理得：AC=

AB2-BC2

=8，
由（1）得：∠PAC=∠B，
∵OP⊥AC，∴∠ADP=∠C=90°，
∴△PAD∽△ABC，
∴PA：AB=AD：BC，
∵AC⊥OD，
∴AD=CD=4，
∴PA=

AB•AD

BC

=

10×4

6

=

20

3

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．