Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，8）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；
（2）設(shè)直線CD交x軸于點E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點P，使得點P到直線CD的距離等于點P到原點O的距離？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點M是直線CD上的一動點，BM交拋物線于N，是否存在點N是線段BM的中點，如果存在，求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），把C（0，8）代入得a=-1．
∴y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
頂點D（1，9）．

（2）假設(shè)滿足條件的點P存在，依題意設(shè)P（2，t），
由C（0，8），D（1，9）求得直線CD的解析式為y=x+8，
它與x軸的夾角為45°，設(shè)OB的中垂線交CD于H，則H（2，10）．
則|PH|=|10-t|，點P到CD的距離為d=PH=|10-t|．
又PO==．
∴=|10-t|．
平方并整理得：t²+4=（10-t）²，
2t²+8=100-20t+t²，
t²+20t-92=0，
t=-10±8．
∴存在滿足條件的點P，P的坐標為（2，-10+8）或（2，-10-8）．

（3）設(shè)M的坐標為（x，x+8），依題意則N的坐標為（，），代入拋物線解析式得方程，
x²+6x-16=0，
∴x=-8，x=2；
∴N的坐標為（-2，0）、（3，5）．
分析：（1）由于拋物線與x軸交于點A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，8），利用待定系數(shù)法設(shè)交點式解答較簡便；
（2）假設(shè)存在點P，設(shè)出P點坐標，求出PH和PO的長度表達式，根據(jù)PH=PO列出方程，若能求出P點坐標，則點P存在，若不能求出點P的坐標，則點P不存在．
（3）假設(shè)存在點N是線段BM的中點，根據(jù)中點坐標公式求出求出N的坐標表達式，代入拋物線，若能求出N點坐標，則點N存在，若不能求出點N的坐標，則點N不存在．
點評：此題將拋物線與直線相結(jié)合，考查了對二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)及圖象上點的坐標特征的掌握情況，
（2）（3）著重考查了點的存在性問題，有一定的開放性．