Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx-2與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0）．點(diǎn)M、N在x軸上，點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)，MN=2．以MN為直角邊向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m． 
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
（2）求點(diǎn)C在這條拋物線上時(shí)m的值．
（3）將線段CN繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到對(duì)應(yīng)線段DN．當(dāng)點(diǎn)D在這條拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx-2，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2），再將C的坐標(biāo)代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2，即可求出m的值；
（3）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-2），再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

，然后根據(jù)點(diǎn)D在直線x=

3

2

上，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0），
∴

a-b-2=0 16a+4b-2=0.

解得

a= 1 2 b=- 3 2 .

∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，
∴CM=MN=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2），
∵點(diǎn)C（m，2）在拋物線上，
∴

1

2

m²-

3

2

m-2=2，
解得m₁=

3+ 41

2

，m₂=

3- 41

2

．
∴點(diǎn)C在這條拋物線上時(shí)，m的值為

3+ 41

2

或

3- 41

2

；

（3）∵將線段CN繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到對(duì)應(yīng)線段DN，
∴∠CND=90°，DN=CN=

2

CM=

2

MN，
∴CD=

2

CN=2CM=2MN，
∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-2）．
又∵拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

，點(diǎn)D在這條拋物線的對(duì)稱軸上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

，-2）；

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．