Question

如圖，在等邊△ABC中，AB=3，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，與梯形BCED重疊的部分記作圖形L．

（1）求△ABC的面積；

（2）設(shè)AD=x，圖形L的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）已知圖形L的頂點均在⊙O上，當圖形L的面積最大時，求⊙O的面積．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）如圖1，作AH⊥BC于H，則∠AHB=90°。

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=3。

∵∠AHB=90°，∴BH=BC=。

在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH=。

∴。

（2）如圖2，當0＜x≤時，。

作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°。

∴DG=x，AG=。

∴。

如圖3，當＜x＜3時，作MG⊥DE于G，

∵AD=x，∴BD=DM=3－x，

∴DG=，MF=MN=2x－3，MG=

∴。

綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為。

 （3）當0＜x≤時，

∵a=＞0，開口向上，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，

∴x=時，。

當＜x＜3時，，

∵a=＜0，開口向下，∴x=2時，

∵＞，∴y最大時，x=2。

∴DE=2，BD=DM=1。

如圖4，作FO⊥DE于O，連接MO，ME，

∴DO=OE=1�！郉M=DO。

∵∠MDO=60°，∴△MDO是等邊三角形。

∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1。

∴MO=OE，∠MOE=120°。

∴∠OME=30°�！唷螪ME=90°。

∴DE是直徑。

∴。

【解析】（1）作AH⊥BC于H，根據(jù)勾股定理就可以求出AH，由三角形的面積公式就可以求出其值。

（2）如圖1，當0＜x≤1.5時，由三角形的面積公式就可以表示出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，如圖2，當1.5＜x＜3時，重疊部分的面積為梯形DMNE的面積，由梯形的面積公式就可以求出其關(guān)系式。

（3）如圖4，根據(jù)（2）的結(jié)論可以求出y的最大值從而求出x的值，作FO⊥DE于O，連接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直徑，由圓的面積公式就可以求出其值。