Question

如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，F(xiàn)G∥AB交BC于G．試判斷CE，CF，GB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：CE=CF=GB．
理由如下：
（1）∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠CAD=90°．
∴∠ACD=∠ABC．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∵∠CEF=∠BAE+∠ABC，∠CFE=∠CAE+∠ACD，
∴∠CEF=∠CFE．
∴CE=CF（等角對等邊）．

（2）如圖，過E作EH⊥AB于H，
∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC，
∴EH=EC（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）．
∴EH=CF．
∵FG∥AB，
∴∠CGF=∠EBH．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴∠CFG=∠EHB=90°．
在Rt△CFG和Rt△EHB中
∵∠CGF=∠EBH，∠CFG=∠EHB，CF=EH，
∴Rt△CFG≌Rt△EHB．
∴CG=EB．
∴CE=GB．
∴CE=CF=GB．
分析：根據(jù)已知利用角之間的關(guān)系得出∠CEF=∠CFE，由等角對等邊可得到CE=CF，過E作EH⊥AB于H，利用AAS判定Rt△CFG≌Rt△EHB，從而得到CG=EB即CE=GB，所以就得到了CE=CF=GB．
點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定方法的理解及運(yùn)用．正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．