Question

16．如圖①，在平面直角坐標系中，A（a，0），C（b，4），且滿足（a+4）²+$\sqrt{b-4}$=0，過C作CB⊥x軸于B．
（1）求三角形ABC的面積．
（2）若線段AC與y軸交于點Q（0，2），在y軸上是否存在點P，使得三角形ABC和三角形QCP的面積相等，若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖②，求∠AED的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
（2）設P點坐標為（0，y），根據(jù)S_△PQC=S_△ABC=16列出方程即可解決問題．
（3）如圖2中：過點E作EF∥AC，首先證明∠AED=∠CAE+∠BDE，再根據(jù)∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ODB，由AC∥BD，得∠ODB=∠AQD，所以∠AED=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ODB）=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠AQD），由此即可解決問題．

解答 解：（1）∵（a+4）²+$\sqrt{b-4}$=0，
又∵（a+4）²+≥0，$\sqrt{b-4}$≥0
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+4=0}\\{b-4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴A（-4，0），C（4，4），B（4，0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$×8×4=16．

（2）設P點坐標為（0，y），
∵Q（0，2），
∴PQ=|y-2|，
當S_△PQC=S_△ABC=16時，
$\frac{1}{2}$•|y-2|×4=16，
解得y=10或-6，
∴P（0，10）或（0，-6）．

（3）如圖2中：過點E作EF∥AC，

∵AC∥BD
∴EF∥BD
∴∠CAE=∠AEF，∠EDB=∠DEF
∴∠CAE+∠EDB=∠AEF+∠DEF
∴∠AED=∠CAE+∠BDE
∵AE、DE分別平分∠CAB和∠ODB
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ODB，
∵AC∥BD
∴∠ODB=∠AQD
∴∠AED=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ODB）=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠AQD）=$\frac{1}{2}$×90°=45°．

點評 本題考查三角形綜合題、非負數(shù)的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識，學會利用方程的思想思考問題，學會添加常用輔助線，記住一些基本圖形、基本結(jié)論，屬于中考�？碱}型．