Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN。令A(yù)M=x．

（1）用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S；     
（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？       
（3）在動點M的運動過程中，記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

解：（1）∵MN∥BC， ∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C， ∴△AMN∽△ABC， ∴，即， ∴AN=x， ∴（0<x<4）。
（2）如圖2，設(shè)直線BC與⊙O相切于點D，連結(jié)AO、OD， 則AO=OD=MN， 在Rt△ABC中，， 由（1）知△AMN∽△ABC， ∴，即， ∴， ∴， 過M點作MQ⊥BC 于Q，則， 在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴△BMQ∽△BCA， ∴， ∴，， ∴x=， ∴當x=時，⊙O與直線BC相切。
（3）隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，如圖3，連結(jié)AP， 則O點為AP的中點， ∵MN∥BC， ∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APC， ∴△AMO∽△ABP， ∴，AM=MB=2， 故以下分兩種情況討論： ①當0＜x≤2時，； ∴當x=2時，； ②當2＜x＜4時，如圖4，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)， ∵四邊形AMPN是矩形， ∴PN∥AM，PN=AM=x， 又∵MN∥BC， ∴四邊形MBFN是平行四邊形， ∴FN=BM=4-x， ∴PF=x-（4-x）=2x-4， 又△PEF∽△ACB， ∴， ∴， ， 當2＜x＜4時，， ∴當時，滿足2＜x＜4，， 綜上所述，當時，y值最大，最大值是2。