Question

12．如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$d的圖象都經(jīng)過點A（-2，6）和點B（4，n）．
（1）求著兩個函數(shù)的解析式
（2）求直線AB關(guān)于y軸的對稱直線l的函數(shù)解析式
（3）直線l與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象是否交點？如果有交點，求出交點的坐標(biāo)，如果沒有交點，可將直線l向上平移多少個單位后，正好與反比例函數(shù)的圖象有一個交點？

Answer 1

分析 （1）將點A（-2，6）代入y=$\frac{m}{x}$于是得到反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{-12}{x}$，將B（4，n）代入y=-$\frac{12}{x}$求得B（4，-3），將A，B代入y=kx+b得解方程組即可得到；
（2）設(shè)直線AB交x軸于N，交y軸于M，則M（0，3），N（2，0）
求得點N關(guān)于y軸的對稱點N′（-2，0），解方程組即可得到結(jié)論；
（3）令$\frac{3}{2}$x-3=-$\frac{12}{x}$，化簡得x²+2x+8=0，由于△=2²-32＜0，得到直線l與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象無交點，設(shè)將直線l向上平移m個單位后，正好與反比例函數(shù)的圖象有一個交點，則$\frac{3}{2}$x+3+m=-$\frac{12}{x}$有唯一解解方程得到m=-3+6$\sqrt{2}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）將點A（-2，6）代入y=$\frac{m}{x}$得m=-12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{-12}{x}$，
將B（4，n）代入y=-$\frac{12}{x}$得n=-3，
∴B（4，-3），
將A，B代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{6=-2k+b}\\{-3=4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+3；
（2）如圖，設(shè)直線AB交x軸于N，交y軸于M，則M（0，3），N（2，0）
∴點N關(guān)于y軸的對稱點N′（-2，0），直線l過M，N′兩點，
設(shè)直線l的解析式為y=k₁x+b₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=3}\\{-2{k}_{1}+_{1}=0}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{3}{2}}\\{_{1}=3}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+3；

（3）令$\frac{3}{2}$x-3=-$\frac{12}{x}$，化簡得x²+2x+8=0，
∴△=2²-32＜0，
∴方程無解，
∴直線l與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象無交點，
設(shè)將直線l向上平移m個單位后，正好與反比例函數(shù)的圖象有一個交點，則$\frac{3}{2}$x+3+m=-$\frac{12}{x}$有唯一解，
∴方程3x²+2（3+m）x+24=0有兩個不為零的相等根，
∴△₁=4（3+m）²-3×4×24=0，解得：m=-3±6$\sqrt{2}$，
∵m＞0，
∴m=-3+6$\sqrt{2}$，
∴將直線l向上平移（-3+6$\sqrt{2}$）個單位，正好與反比例函數(shù)的圖象有一個交點．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式和交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．