Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C(0，3)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)點M是拋物線上一點，以B，C，D，M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

專題∶壓軸題． 　　分析∶(1)由于A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點均在坐標(biāo)軸上，故設(shè)一般式解答和設(shè)交點式(兩點式)解答均可． 　　(2)分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運用兩點間距離公式建立起P點橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合拋物線解析式即可求解． 　　(3)根據(jù)拋物線上點的坐標(biāo)特點，利用勾股定理求出相關(guān)邊長，再利用勾股定理的逆定理判斷出直角梯形中的直角，便可解答． 　　解答∶解∶(1)∵拋物線與y軸交于點C(0，3)， 　　∴設(shè)拋物線解析式為y＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 　　根據(jù)題意，得， 　　解得， 　　∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3． 　　(2)存在． 　　由y＝－x2＋2x＋3得，D點坐標(biāo)為(1，4)，對稱軸為x＝1． 　�、偃粢訡D為底邊，則PD＝PC， 　　設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)兩點間距離公式， 　　得x2＋(3－y)2＝(x－1)2＋(4－y)2， 　　即y＝4－x． 　　又P點(x，y)在拋物線上， 　　∴4－x＝－x2＋2x＋3， 　　即x2－3x＋1＝0， 　　解得x1＝，x2＝＜1，應(yīng)舍去， 　　∴x＝， 　　∴y＝4－x＝， 　　即點P坐標(biāo)為． 　�、谌粢訡D為一腰， 　　∵點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關(guān)于直線x＝1對稱， 　　此時點P坐標(biāo)為(2，3)． 　　∴符合條件的點P坐標(biāo)為或(2，3)． 　　(3)由B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，根據(jù)勾股定理， 　　得CB＝，CD＝，BD＝， 　　∴CB2＋CD2＝BD2＝20， 　　∴∠BCD＝90°， 　　設(shè)對稱軸交x軸于點E，過C作CM⊥DE，交拋物線于點M，垂足為F，在Rt△DCF中， 　　∵CF＝DF＝1， 　　∴∠CDF＝45°， 　　由拋物線對稱性可知，∠CDM＝2×45°＝90°，點坐標(biāo)M為(2，3)， 　　∴DM∥BC， 　　∴四邊形BCDM為直角梯形， 　　由∠BCD＝90°及題意可知， 　　以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況； 　　以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在． 　　綜上所述，符合條件的點M的坐標(biāo)為(2，3)． 　　點評∶此題是一道典型的“存在性問題”，結(jié)合二次函數(shù)圖象和等腰三角形、等腰梯形的性質(zhì)，考查了它們存在的條件，有一定的開放性．

提示：

考點∶二次函數(shù)綜合題．