Question

如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為O，E．
（1）當(dāng)BC=1時，求線段OD的長；
（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由．
（3）當(dāng)OD=

3

時，求OE的長．

Answer 1

考點：垂徑定理,三角形中位線定理

專題：

分析：（1）證明BD=DC=0.5，借助勾股定理即可解決問題．
（2）證明DE為△ABC的中位線，求出AB的長度，即可解決問題．
（3）求出∠DOE=45°，此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；運(yùn)用余弦定理列出關(guān)于線段OE的方程即可解決問題．

解答：解：（1）∵OD⊥BC，
∴BD=DC=0.5，
由勾股定理得：
OD²=OB²-BD²，而OB=2，
∴OD=

15

2

．
（2）存在，DE的長度不變．
∵∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴AB²=2²+2²，
∴AB=2

2

；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD=DC，AE=CE，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE=

1

2

AB=

2

．
（3）∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA=OB=OC，
∴∠AOE=∠COE（設(shè)為α），∠BOD=∠COD（設(shè)為β），
∵2（α+β）=90°，
∴α+β=45°，即∠DOE=45°；
設(shè)OE=λ；在△DOE中，由余弦定理得：
DE²=OD²+OE²-2OD•OE•cos45°，
即2=3+OE2-2

3

•OE•

2

2

，
整理得：OE2-

6

OE+1=0，
解得：OE=

6 + 2

2

或

6 - 2

2

（舍去）．
∴OE=

6 + 2

2

．

點評：該題主要考查了垂徑定理、三角形的中位線定理、勾股定理及其應(yīng)用問題；牢固掌握定理是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用解答是關(guān)鍵．