Question

定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準(zhǔn)外心。

舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為△ABC的準(zhǔn)外心。

（1）應(yīng)用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且，

求∠APB的度數(shù)。

（2）探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA的長。

         

Answer 1

（1）解：⑴∵△ABC是等邊三角形，CD是AB邊上的高線

∴D為AB的中點。（等邊三角形三線合一）

∴

又∵

∴AD=PD=BD

又∵CD是AB邊上的高線

∴△ADP, △DBP為等腰直角三角形

∴∠APD=∠BPD=45

∴∠APB=∠APD+∠BPD=90°；（5分）
⑵∵BC=5，AB=3，∴AC=，
①若PB=PC，設(shè)PA=x，則，∴，即PA，
②若PA=PC，則PA=2，

③若PA=PB，在Rt△PAB中，不可能

  ∴綜上所述，PA=2或 （5分）