Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于不同的兩點A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），與y軸的負(fù)半軸交于點C．若拋物線頂點的橫坐標(biāo)為-1，A、B兩點間的距離為10，且△ABC的面積為15．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求出點A和點B的坐標(biāo)；
（3）在x軸上方，（1）中的拋物線上是否存在點C'，使得以A、B、C'為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點C'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）（2）因為拋物線過A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），且拋物線頂點的橫坐標(biāo)為-1，
所以是=-1①；
又因為A、B兩點間的距離為10，且x₁＜x₂，
所以x₂-x₁=10②，
因為△ABC的面積為15，所以為×（-c）=15③，
組成方程組得，
解得，
于是A（-6，0），B（4，0），
把c=-3，代入y=ax²+bx+c得
，
解得，
于是函數(shù)解析式為y=x²+x-3，
所以點A和點B和點C的坐標(biāo)分別為A（-6，0），B（4，0），C（0，-3）．
于是可畫出圖形：

（3）①如圖1所示，構(gòu)造△ABC∽△APB，在y軸正半軸上找C′（0，3）
連接AC′并延長AC′交拋物線于P，連接PB，
則∠PAB=∠BAC，
易得AC′：y=+3，
聯(lián)立，
解得：（A點），，
∴P（8，7）
∴AP===7，
∴≠，
根據(jù)對稱可得（-10，7）也不成立，
此猜想不成立，

②構(gòu)造△ABC∽△PAB，
過A點作AP′∥BC交拋物線于P′，
∴∠P′AB=∠ABC，
設(shè)直線AP′為y=x+b，
則×（-6）+b=0，
解得b=，
∴直線AP′為：y=x+，
聯(lián)立，
解得（A點），，
∴P′（10，12），
∴P′A==20，
∴==2，
∴△ABC∽△P′AB，
根據(jù)對稱可得P″（-12，12），
∴P′（10，12），P″（-12，12）為所求．
分析：（1）（2）因為拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于不同的兩點A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），所以A和B關(guān)于拋物線對稱軸對稱，于是=-1①；又因為A、B兩點間的距離為10，且x₁＜x₂，所以x₂-x₁=10②，△ABC的面積可表示為|c|=15③，將①②③組成方程組，即可解出點A和點B的坐標(biāo)和拋物線的解析式．
（3）假設(shè)三角形相似，畫出圖形，先確定相似三角形的一個對應(yīng)角，然后求出直線解析式，與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立求出點P的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出PA的長度，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行驗證，符合的，則存在，否則就不合適．
點評：解答此題不僅要熟知二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，更要熟知二次函數(shù)與x軸交點坐標(biāo)與對稱軸的關(guān)系，結(jié)合圖形會更易解答．