Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB+BC=20，sinA=

4

5

，P是AB邊上一點，設(shè)DC=x，△PCD的面積為y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求△PCD的面積的最大值；
（2）若以DC為直徑的圓過P、B兩點，求AP的長．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),二次函數(shù)的最值,圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）首先作DH⊥AB于H，在平行四邊形ABCD中，AB=DC=x，AD=BC=20-x，由AB+BC=20，sinA=

4

5

，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=

1

2

×

4

5

（20-x）x，繼而求得答案；
（2）首先連接BD，由sin∠BCD=sinA=

4

5

，可得BC=

3

5

CD，繼而求得x的值，然后由以DC為直徑的圓過P、B兩點，證得∠APD=∠A，又由DH⊥AB，可求得AP=2AH=2×

3

5

×（20-

25

2

）=9．

解答：解：（1）作DH⊥AB于H，
在平行四邊形ABCD中，AB=DC=x，AD=BC=20-x，
在Rt△ADH中，DH=AD×sinA=

4

5

（20-x），
y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=

1

2

×

4

5

（20-x）x，
即：y=-

2

5

x²+8x，
∵y=-

2

5

x²+8x=-

2

5

（x-10）²+40，
∴當x=10時，y的最大值為40
∴△PCD的面積的最大值為40；

（2）連接BD，由題意得：∠DBC=90°
∵sin∠BCD=sinA=

4

5

，
∴cosA=

3

5

，
∴BC=

3

5

CD，
∴20-x=

3

5

x，
∴x=

25

2

，
∵D、C、B、P在同一個圓上，
∴∠BCD+∠BPD=180°，
∵∠APD+∠BPD=180°，
∴∠APD=∠BCD，
∴∠APD=∠A，
∵DH⊥AB，
∴AP=2AH=2×

3

5

×（20-

25

2

）=9．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、三角函數(shù)以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．