Question

如圖（1），矩形ABCD的一邊BC在直角坐標系中x軸上，折疊邊AD，使點D落在x軸上點F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設點B坐標為（m，0），其中m＞0．
（1）求點E、F的坐標（用含m的式子表示）；
（2）連接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如圖（2），設拋物線y=a（x-m-6）²+h經(jīng)過A、E兩點，其頂點為M，連接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=CB=10，AB=DC=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，
由折疊對稱性：AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF===6，
∴CF=4，
設EF=x，則EC=8-x，
在Rt△ECF中，4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴CE=3，
∵B（m，0），
∴E（m+10，3），F(xiàn)（m+6，0）；

（2）分三種情況討論：
若AO=AF，
∵AB⊥OF，
∴BO=BF=6，
∴m=6，
若OF=FA，則m+6=10，
解得：m=4，
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO²=OB²+AB²=m²+64，
∴（m+6）²=m²+64，
解得：m=，
∴m=6或4或；

（3）由（1）知：E（m+10，3），A（m，8）．
∴，
得，
∴M（m+6，-1），
設對稱軸交AD于G，
∴G（m+6，8），
∴AG=6，GM=8-（-1）=9，
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG，
∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG，
∴=，
即：，
∴m=12，
分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形以及由折疊對稱性得出AF=AD=10，EF=DE，進而求出BF的長，即可得出E，F(xiàn)點的坐標；
（2）分三種情況討論：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可；
（3）由E（m+10，3），A（m，8），代入二次函數(shù)解析式得出M點的坐標，再利用△AOB∽△AMG，求出m的值即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論思想是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．