Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOP為等邊三角形，A（0，1），點B為y軸上一動點，以BP為邊作等邊△PBC．
（1）求證：OB=AC；
（2）求∠CAP的度數(shù)；
（3）當(dāng)B點運動時，AE的長度是否發(fā)生變化？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60°，求出∠OPB=∠APC，證出△PBO≌△PCAA即可；
（2）由（1）知∠PBO=∠PCA，根據(jù)∠BAC=∠BPC=60゜，即可求出答案．
（3）∠EAO=60゜，求出∠AEO=30゜，得出AE=2AO，求出即可．

解答：（1）證明：∵△BPC和△AOP是等邊三角形，
∴OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60°，
∴∠APO+∠APB=∠BPC+∠APB，
即∠OPB=∠APC，
在△PBO和△PCA中，

OP=PA ∠OPB=∠APC PB=PC

，
∴△PBO≌△PCA （SAS），
∴OB=AC．

（2）解：由（1）知∠PBO=∠PCA，
∴∠BAC=∠BPC=60゜，
又∵∠OAP=60゜，
∴∠CAP=60゜．

（3）解：當(dāng)B點運動時，AE的長度不發(fā)生變化，
理由是：∵∠EAO=∠BAC=60゜，∠AOE=90°，
∴∠AEO=30゜，
∴AE=2AO=2，
即當(dāng)B點運動時，AE的長度不發(fā)生變化．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．