Question

3．如圖，在△ABC中，BD、CE是邊AC、AB上的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O，N是OC的中點(diǎn)．
（1）求證：OC=2OE；
（2）若S_△CDN=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重心的定義，由BD、CE是邊AC、AB上的中線得到點(diǎn)O為△ABC的重心，然后根據(jù)重心的性質(zhì)易得OC=2OE；
（2）根據(jù)三角形面積公式易得S_△OCD=2S_△CDN=2，再利用重心的性質(zhì)得OB：OD=2：1，則S_△BCD=3S_△OCD=6，然后利用AD=CD可得S_△ABC=2S_△BCD=12．

解答 （1）證明：∵BD、CE是邊AC、AB上的中線，
∴點(diǎn)O為△ABC的重心，
∴OC：OE=2：1，
即OC=2OE；
（2）解：∵N是OC的中點(diǎn)，
∴S_△OCD=2S_△CDN=2，
∵點(diǎn)O為△ABC的重心，
∴OB：OD=2：1，
∴S_△BCD=3S_△OCD=6，
∵BD為中線，
∴AD=CD，
∴S_△ABC=2S_△BCD=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)．重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了三角形面積公式．