Question

【題目】如果一個(gè)三角形的兩條邊的和是第三邊的兩倍，則稱(chēng)這個(gè)三角形是“優(yōu)三角形”，這兩條邊的比稱(chēng)為“優(yōu)比”（若這兩邊不等，則優(yōu)比為較大邊與較小邊的比），記為.

（1）命題：“等邊三角形為優(yōu)三角形，其優(yōu)比為1”，是真命題還是假命題？

（2）已知為優(yōu)三角形，，，，

①如圖1，若，，，求的值.

②如圖2，若，求優(yōu)比的取值范圍.

（3）已知是優(yōu)三角形，且，，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）該命題是真命題，理由見(jiàn)解析；（2）①a的值為；②k的取值范圍為；（3）的面積為或．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、優(yōu)三角形和優(yōu)比的定義即可判斷；

（2）①先利用勾股定理求出c的值，再根據(jù)優(yōu)三角形的定義列出的等式，然后求解即可；

②類(lèi)似①分三種情況分析，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出每種情況下之間的關(guān)系，然后根據(jù)優(yōu)比的定義求解即可；

（3）如圖（見(jiàn)解析），設(shè)，先利用直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求出AC、AB的長(zhǎng)及面積的表達(dá)式，再類(lèi)似（2），根據(jù)優(yōu)三角形的定義分三種情況分別列出等式，然后解出x的值，即可得出的面積．

（1）該命題是真命題，理由如下：

設(shè)等邊三角形的三邊邊長(zhǎng)為a

則其中兩條邊的和為2a，恰好是第三邊a的2倍，滿(mǎn)足優(yōu)三角形的定義，即等邊三角形為優(yōu)三角形

又因該兩條邊相等，則這兩條邊的比為1，即其優(yōu)比為1

故該命題是真命題；

（2）①

根據(jù)優(yōu)三角形的定義，分以下三種情況：

當(dāng)時(shí)，，整理得，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

當(dāng)時(shí)，，解得

當(dāng)時(shí)，，解得，不符題意，舍去

綜上，a的值為；

②由題意得：均為正數(shù)

根據(jù)優(yōu)三角形的定義，分以下三種情況：（）

當(dāng)時(shí)，則

由三角形的三邊關(guān)系定理得

則，解得，即

故此時(shí)k的取值范圍為

當(dāng)時(shí)，則

由三角形的三邊關(guān)系定理得

則，解得，即

故此時(shí)k的取值范圍為

當(dāng)時(shí)，則

由三角形的三邊關(guān)系定理得

則，解得，即

故此時(shí)k的取值范圍為

綜上，k的取值范圍為；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)A作，則

設(shè)

是優(yōu)三角形，分以下三種情況：

當(dāng)時(shí)，即，解得

則

當(dāng)時(shí)，即，解得

則

當(dāng)時(shí)，即，整理得，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

綜上，的面積為或．