Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B為正比例函數y=kx（k＞0）與反比例函數y=

m

x

（m≠0）的交點，過點A作AC平行于x軸，過點B作BC平行于y軸，AC與y軸交于點M，BC與x軸交于點N，若∠BAC=60°，AB=4，
（1）求k與m的值；
（2）將一把三角尺的直角頂點放在原點O處，繞著點O旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊分別交射線CA、射線BC于點P、Q，設點P的橫坐標為x，PQ的長為L，當點p在邊AC上運動時，求L與x的函數關系式；
（3）當△PQC的面積為

3

2

時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據反比例函數的對稱性可知點A、B關于原點對稱，所以OB=2，然后在△BON中，求出ON、BN的長度，坐標可得，再代入兩函數解析式即可求出k、m的值；
（2）先證明△OMP與△OQN相似，然后根據相似三角形對應邊成比例列出比例式，用x表示出ON，在△PQC中，利用勾股定理即可得到L與x的函數關系式；
（3）利用三角形的面積公式，△PQC的面積=

1

2

PC×CQ，然后代入數據進行計算即可求出x的值，則點P的坐標可得．

解答：解：（1）根據反比例函數圖形的對稱性可知點A、B關于原點對稱，
∵∠BAC=60°，AB=4，
∴∠BON=60°，OB=

1

2

AB=2，
∴在△BON中，ON=OBcos60°=1，BN=OBsin60°=

3

，
∴點B的坐標是（1，

3

），點A的坐標為（-1，-

3

），
∴k×1=

3

，

m

1

=

3

，
解得k=

3

，m=

3

；

（2）∵∠QON+∠NOP=90°，∠MOP+∠NOP=90°，
∴∠QON=∠MOP，
又∵∠OMP=∠ONQ=90°，
∴△OMP∽△OQN，
∴

MP

QN

=

OM

ON

，
即

x

QN

=

3

1

，
解得QN=

3

3

x，
在Rt△PCQ中，L=

CP2+CQ2

=

(1-x)2+( 3 3 x+ 3 )2

=

4 3 x2+4

；
∴L與x的函數關系式為L=

4 3 x2+4

；

（3）S_△PQC=

1

2

PC×CQ=

1

2

（1-x）（

3

3

x+

3

）=

3

2

，
整理得x²+2x=0，
解得x₁=0或x₂=-2，
此時點P的坐標為（0，-

3

）或（-2，-

3

）．

點評：本題考查了反比例函數的性質，待定系數法求函數解析式，相似三角形對應邊成比例，勾股定理，綜合性較強，難度較大．