Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5 cm，BC=6 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊以每秒1cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CA邊以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．點(diǎn)P，Q分別從B，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q、P停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（ s）．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，射線DE經(jīng)過點(diǎn)C；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△PQC與△PDE相似；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)四邊形ABPQ的面積為y（ cm²），求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不寫自變量取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）由于DE垂直平分PQ，所以只要CP=CQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，DE又是頂角的平分線，所以列出方程，求出x=2．
（2）過點(diǎn)A作AM⊥BC垂足為M．利用PQC∽△PDE得到AM⊥BC∠C=∠C，從而證得△PQC∽△AMC列出比例式求得x的值即可；
（3）由于四邊形AQPB的形狀不規(guī)則，所以可以用△ABC的面積減去△PQC的面積，而△PQC的面積可以用x表達(dá)，則四邊形AQPB的面積也可以用x表達(dá)出來．

解答：解：（1）如圖（1），當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C
∵DE⊥PQ，PD=QD
∴PC=CQ，
PC=6-x，CQ=2x，
即6-x=2x得x=2
∴當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)了2秒時(shí)，直線DE經(jīng)過點(diǎn)C；

（2）如圖（2），過點(diǎn)A作AM⊥BC垂足為M．
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

BC=3 cm
∵DE⊥PQ
∴當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，△PQC∽△PDE…（4分）
∵AM⊥BC∠C=∠C
∴△PQC∽△AMC
∴

QC

MC

=

PC

AC

即  

2x

3

=

6-x

5

解得x=

18

13

當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)了

18

13

秒時(shí)，△PQC與△PDE相似．       …

（3）如圖（3），分別過點(diǎn)Q、A作QN⊥BC，AM⊥BC垂足為M、N．∵AB=AC=5cm，BM=3cm，
∴AM=

52-32

=4（cm）
∵QN∥AM∴△QNC∽△AMC
∴

QN

AM

=

CQ

CA

即

QN

4

=

2x

5

解得  QN=

8

5

x…（7分）
又∵PC=6-x
∴S_△PCQ=

1

2

PC•QN=

1

2

(6-x)•

8

5

x
∴y=S_△ABC-S_△PCQ=

1

2

×6×4-

1

2

(6-x)•

8

5

x
即y=

4

5

x2-

24

5

x+12．

點(diǎn)評：本題需先證得三角形相似和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，再通過相似形的性質(zhì)，解決問題，全面的考查了相似形的性質(zhì)和判定．