Question

如示意圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是x軸的負(fù)半軸上一點(diǎn)，以AO為直徑的⊙P經(jīng)過點(diǎn)C（-8，4）．點(diǎn)E（m，n）在⊙P上，且-10＜m≤-5，n＜0，CE與x軸相交于點(diǎn)M，過C點(diǎn)作直線CN交x軸于點(diǎn)N，交⊙P于點(diǎn)F，使得△CMN是以MN為底的等腰三角形，經(jīng)過E、F兩點(diǎn)的直線與x軸相交于點(diǎn)Q．
（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m=-5時(shí)，求圖象經(jīng)過E、Q兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式；
（3）當(dāng)點(diǎn)E（m，n）在⊙P上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想∠OQE的大小會(huì)發(fā)生怎樣的變化？請(qǐng)對(duì)你的猜想加以證明．

Answer 1

分析：（1）過C點(diǎn)作CD⊥x軸于點(diǎn)K，與⊙P相交于點(diǎn)D，AO為直徑．CK=KD，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入CK²=AK•KO，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-10，0）；
（2）連接PD，PE，則m=-5，且P（-5，0），通過證明Rt△KPD∽R(shí)t△PEQ，
得

PK

EP

=

KD

PQ

，即

3

5

=

4

PQ

，所以PQ=

20

3

．
則OQ=OQ+PQ=5+

20

3

=

35

3

，可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-

35

3

，0)，
設(shè)圖象經(jīng)過E、Q兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法解得一次函數(shù)的解析式為y=-

3

4

x-

35

4

；
（3）因?yàn)?10＜m≤-5，n＜0，可知點(diǎn)E（m，n）在⊙P的四分之一的圓上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），在⊙P的四分之一的圓上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），連接PD，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，利用

FD

=

ED

，得到∠OQE=∠PDK．根據(jù)∠PDK的大小始終不變，可知∠OQE的大小始終不變．

解答：解：（1）如圖1，過C點(diǎn)作CD⊥x軸于點(diǎn)K，與⊙P相交于點(diǎn)D，
∵AO為直徑，
∴CK=KD，CK²=AK•KO，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-8，4），
∴CK=4，OK=8，
∴4²=AK•8，
∴AK=2，
∴AO=10，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-10，0）；（2分）

（2）∵P（-5，0），K（-8，0），
∴PK=3，
如圖2，連接PD，PE，
∵m=-5，且P（-5，0），
∴PE⊥x軸于P，
又∵點(diǎn)E （-5，n）中⊙，且n＜0，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-5，-5），
∵△CMN是以MN為底的等腰三角形，
∴∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴

FD

=

ED

∴PD⊥EF，
∴∠DPK=∠QEP，
∴Rt△KPD∽R(shí)t△PEQ，
∴

PK

EP

=

KD

PQ

，
即

3

5

=

4

PQ

，
∴PQ=

20

3

，
∴OQ=OQ+PQ=5+

20

3

=

35

3

，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-

35

3

，0)，
設(shè)圖象經(jīng)過E、Q兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

-5=-5k+b 0=- 35 3 k+b

，
解得

k=- 3 4 b= 35 4

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-

3

4

x-

35

4

；（5分）

（3）猜想：當(dāng)點(diǎn)E在⊙P上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OQE的大小始終保持不變，（6分）
證明：因?yàn)?10＜m≤-5，n＜0，可知點(diǎn)E（m，n）在⊙P的四分之一的圓上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），
如圖，在⊙P的四分之一的圓上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），連接PD，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴

FD

=

ED

，
∴PD⊥EF，
∴∠OQE=∠PDK，
∵∠PDK的大小始終不變，
∴∠OQE的大小始終不變，
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E（m，n）在⊙P的四分之一的圓上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）時(shí)，∠OQE的大小始終不變．（8分）
（注：其他解法酌情給分）

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．
解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象上點(diǎn)的意義，待定系數(shù)法解函數(shù)解析式和相似三角形的性質(zhì)來表示相應(yīng)的線段之間的關(guān)系，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．
試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)．