Question

14．關于x的一元二次方程x²+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關于y的一元二次方程y²+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結論：①這兩個方程的根都負根；②（m-1）²+（n-1）²≥2；③-1≤2m-2n≤1，其中正確結論的個數(shù)是3個．

Answer 1

分析 ①根據(jù)題意，以及根與系數(shù)的關系，可知兩個整數(shù)根都是負數(shù)；②根據(jù)根的判別式，以及題意可以得出m²-2n≥0以及n²-2m≥0，進而得解；③可以采用根與系數(shù)關系進行解答，據(jù)此即可得解．

解答 解：①兩個整數(shù)根且乘積為正，兩個根同號，由韋達定理有，x₁•x₂=2n＞0，y₁•y₂=2m＞0，
y₁+y₂=-2n＜0，
x₁+x₂=-2m＜0，
這兩個方程的根都為負根，①正確；
②由根判別式有：
△=b²-4ac=4m²-8n≥0，△=b²-4ac=4n²-8m≥0，
∵4m²-8n≥0，4n²-8m≥0，
∴m²-2n≥0，n²-2m≥0，
m²-2m+1+n²-2n+1=m²-2n+n²-2m+2≥2，
（m-1）²+（n-1）²≥2，②正確；
③由根與系數(shù)關系可得2m-2n=y₁y₂+y₁+y₂=（y₁+1）（y₂+1）-1，
由y₁、y₂均為負整數(shù)，故（y₁+1）•（y₂+1）≥0，故2m-2n≥-1，
同理可得：2n-2m=x₁x₂+x₁+x₂=（x₁+1）（x₂+1）-1，得2n-2m≥-1，即2m-2n≤1，故③正確，
故答案為：3個．

點評 本題主要考查了根與系數(shù)的關系，以及一元二次方程的根的判別式，根據(jù)不同結論靈活運用根與系數(shù)的關系是難點．