Question

如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓O上，過點O作BC的平行線交AC于點D，交過點A的直線于點E，且∠E=∠BAC．
（1）求證：AE是圓O的切線；
（2）若BC=6，CD=4，求AE的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）要證AE是圓O的切線只要證明∠EAO=90°即可；
（2）由兩組角對應相等的兩個三角形相似可得到△EOA∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可得到AE的長．

解答：（1）證明：∵AB為圓O的直徑，
∴∠BCA=90°．
又∵BC∥OE，
∴OE⊥AC，
∴∠E+∠DAE=90°．
∵∠E=∠BAC，
∴∠BAC+∠DAE=90°，即∠EAO=90°，
∴AE是圓O的切線；

（2）解：∵BC∥OD，
∴△AOD∽△ABC，
∵BA=2AO，
∴

AD

AC

=

AO

AB

=

1

2

，
又CD=4，
∴AC=2CD=8．
在Rt△ABC中，∵∠BCA=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10．
在△EOA與△ABC中，

∠E=∠BAC ∠EAO=∠ACB=90°

，
∴△EOA∽△ABC，
∴

AE

AC

=

OA

BC

即

AE

8

=

5

6

，
∴AE=

20

3

．

點評：此題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．同時考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．