Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果點P由B出發(fā)沿BA方向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設(shè)運動的時間為t（單位：s）（0＜t≤4）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，△APQ與△ABC相似？
（2）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況考慮：當∠AQP=∠ACB時，由∠A=∠A，得到△APQ∽△ABC，由相似得比例，將各自的式子代入求出t的值；當∠AQP=∠B時，由∠A=∠A，得到△APQ∽△ACB，同理求出此時t的值；
（2）如圖所示，過P點作PD⊥AC于點D，構(gòu)造比例線段，求得PD，從而可以得到三角形AQP的面積表達式，再由線段PQ恰好把△ABC的面積平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判別式小于0，則可以得出結(jié)論：不存在這樣的某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．

解答：解：（1）∵當∠AQP=∠ACB時，由∠A=∠A，得到△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
∵BP=2tcm，AB=10cm，
∴AP=（10-2t）cm，
又∵AQ=2tcm，AC=8cm，
∴

2t

8

=

10-2t

10

，
解得：t=

20

9

s；
當∠AQP=∠B時，由∠A=∠A，得到△APQ∽△ACB，
∴

AQ

AB

=

AP

AC

，即

2t

10

=

10-2t

8

，
解得：t=

25

9

s，
則當t=

20

9

s或t=

25

9

s時，△APQ與△ABC相似；

（2）不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，理由為：
如圖所示，過P點作PH⊥AC于點H．
則PH∥BC，
則

AP

AB

=

PH

BC

，
即

10-2t

10

=

PH

6

，
解得：PH=（6-

6

5

t）cm，
∴S_△AQP=

1

2

×AQ×PH=

1

2

×2t×（6-

6

5

t）=-

6

5

t²+6t（cm²），
假設(shè)存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則有S_△AQP=

1

2

S_△ABC，而S_△ABC=

1

2

AC•BC=24（cm²），
則此時S_△AQP=12（cm²），
-

6

5

t²+6t=12，化簡得：t²-5t+10=0，
因為△=（-5）²-4×1×10=-15＜0，此方程無實數(shù)根，
則不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．

點評：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，不解方程判斷方程解的情況，是一道動點型探究題．