Question

14．如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在AD，BC上，連結(jié)OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半徑長(zhǎng)為1，則BC+AB的值2$\sqrt{3}$+4．

Answer 1

分析 設(shè)圓0與BC的切點(diǎn)為M，連接OM，由切線的性質(zhì)可知OM⊥BC，然后證明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．設(shè)AB=a，BC=a+2，AC=2a，從而可求得∠ACB=30°，從而得到$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故此可求得AB=$\sqrt{3}+1$，則BC=$\sqrt{3}$+3．

解答 解：如圖所示：設(shè)圓0與BC的切點(diǎn)為M，連接OM．

∵BC是圓O的切線，M為切點(diǎn)，
∴OM⊥BC．
∴∠OMG=∠GCD=90°．
由翻折的性質(zhì)可知：OG=DG．
∵OG⊥GD，
∴∠OGM+∠DGC=90°．
又∵∠MOG+∠OGM=90°，
∴∠MOG=∠DGC．
在△OMG和△GCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OMG=∠DCG=90°}\\{∠MOG=∠DGC}\\{OG=DG}\end{array}\right.$，
∴△OMG≌△GCD．
∴OM=GC=1．
CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．
∵AB=CD，
∴BC-AB=2．
設(shè)AB=a，則BC=a+2．
∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴AC=AB+BC-2r．
∴AC=2a．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$．
∴∠ACB=30°．
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{a}{a+2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
解得：a=$\sqrt{3}+1$．
∴AB=$\sqrt{3}+1$，BC=AB+2=$\sqrt{3}+3$．
所有AB+BC=4$+2\sqrt{3}$．
故答案為：4$+2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、特殊銳角三角函數(shù)值，求得∠ACB=30°是解題得關(guān)鍵．