Question

如圖，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列結論：
①AC-BE=AE；②∠BAD-∠C=∠DAE；③∠DAE=∠C；④AC=2BD，
其中正確的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①③④
3. C.
   ①②④
4. D.
   ②③④

Answer 1

C
分析：根據角平分線的定義可得∠1=∠2，然后求出∠2=∠C，再根據等角對等邊可得BE=CE，結合圖形AC-CE=AE即可得到①正確；延長AD交BC與F，利用“角邊角”證明△ABD和△FBD全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BAD=∠AFB，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式即可得到∠BAD-∠C=∠DAE，從而的得到②正確；根據直角三角形兩銳角互余用∠C表示出∠BAD，再代入②整理可得∠DAE=90°-2∠C，得到③錯誤；取CF的中點G，連接DG，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DG∥AC，AC=2DG，再根據兩直線平行，同位角相等可得∠C=∠3，然后求出∠2=∠3，根據等角對等邊可得BD=DG，從而得到AC=2BD，判定④正確．
解答：∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠2=∠C，
∴BE=CE，
∵AC-CE=AE，
∴AC-BE=AE，故①正確；
延長AD交BC與F，
∵AD⊥BE，
∴∠ADB=∠FDB=90°，
∵在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴∠BAD=∠AFB，
在△ACF中，∠DAE=∠AFB-∠C，
∴∠BAD-∠C=∠DAE，故②正確；
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠1=90°-∠C，
∴90°-∠C-∠C=∠DAE，
∴∠DAE=90°-2∠C，故③錯誤；
取CF的中點G，連接DG，則DG是△ACF的中位線，
∴DG∥AC，AC=2DG，
∴∠C=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BD=DG，
∴AC=2BD，故④正確；
綜上所述，正確的結論有①②④．
故選C．
點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等角對等邊的性質，本題難點在（4），作輔助線，利用三角形的中位線定理是解題的關鍵．