Question

（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點,P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN=90°.

求證：AM=MN．

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME．

∵正方形ABCD中，∠B=90°，∠AMN­=90°

∴∠1=180°-∠AMN­-∠AMB =180°-∠B-∠AMB=∠2

（下面請你完成余下的證明過程）

（2）若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是∠ACP的平分線上一點，則當∠AMN=60°時，結論AM=MN是否還成立？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）∵AE=MC，

∴BE=BM，

∴∠BEM=∠EMB=45°，

∴∠AEM=135°，

∵CN平分∠DCP，

∴∠PCN=45°，

∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中：

∵ {∠AEM=∠MCNAE=MC∠EAM=∠CMN

∴△AEM≌△MCN，

∴AM=MN；

（2）仍然成立．

在邊AB上截取AE=MC，連接ME，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

∴∠ACP=120°，

∵AE=MC，

∴BE=BM，

∴∠BEM=∠EMB=60°，

∴∠AEM=120°，

∵CN平分∠ACP，

∴∠PCN=60°，

∴∠AEM=∠MCN=120°，

∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，

∴△AEM≌△MCN，

∴AM=MN．

【解析】（1）由題中條件可得∠AEM=∠MCN=135°，再由兩角夾一邊即可判定三角形全等；

（2）還是利用兩角夾一邊證明其全等，證明方法同（1）．