Question

5．如圖，AB，AC為⊙O的弦，AB=AC，連接AO．
（1）如圖1，求證：∠OAC=∠OAB；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，設(shè)AO的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)E，求證：BE=CD；
（3）在（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)F，G分別在CD，BD的延長(zhǎng)線上，連接AG，AF，若CF•AG=8，∠GAB=45°+$\frac{1}{2}$∠GAE，∠B=50°，求△ACF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SSS證明△AOC≌△AOB，可得∠OAC=∠OAB；
（2）作輔助線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PE=EH，證明Rt△APE≌Rt△AHE，得AP=AH，所以PC=BH，再證明△DPC≌△EHB，可得結(jié)論；
（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建△ACF的高線AH，設(shè)∠GAE=α，根據(jù)已知等式得α+20°=45°+$\frac{1}{2}α$，求出α=50°，得∠GAC=30°，根據(jù)三角函數(shù)表示AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG，代入△ACF面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 證明：（1）如圖1，連接OC、OB
在△AOC和△AOB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{AO=AO}\\{OC=OB}\end{array}\right.$
∴△AOC≌△AOB（SSS）
∴∠OAC=∠OAB；

（2）如圖2，過(guò)E作EH⊥AB于H，
∵BD⊥AC，∠OAC=∠OAB，
∴PE=EH，
∵AE=AE，
∴Rt△APE≌Rt△AHE（HL），
∴AP=AH，
∵AC=AB，
∴AC-AP=AB-AH，
即PC=BH，
∵∠C=∠B，∠DPC=∠EHB=90°，
∴△DPC≌△EHB，
∴BE=CD；

（3）如圖3，過(guò)A作AH⊥CF，設(shè)BG與AC交于點(diǎn)P，
∵∠B=50°，BD⊥AC，
∴∠BAC=90°-50°=40°，
∵∠CAO=∠BAO，
∴∠CAO=∠BAO=20°，
設(shè)∠GAE=α，則α+20°=45°+$\frac{1}{2}α$，
α=50°，
∴∠GAC=30°，
在Rt△APG中，cos30°=$\frac{AP}{AG}$，
∴AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG，
∵AB=AC，∠B=∠C，∠AHC=∠APE=90°，
∴△ACH≌△ABP，
∴AH=AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG，
S_△ACF=$\frac{1}{2}$AH•CF=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$AG•CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×8=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、特殊角的三角函數(shù)、圓心角、弧、圓周角之間的關(guān)系等知識(shí)，第一問(wèn)可以作直徑AD，利用同圓中弦相等，則所對(duì)的弧相等，半圓相等，再由等式的性質(zhì)得：$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，則所對(duì)的圓周角相等得出結(jié)論；第三問(wèn)有難度，得出AH=AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG是關(guān)鍵．