Question

已知在凸五邊形ABCDE中，∠BAE=3α，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=180°-2α，求證：∠BAC=∠CAD=∠DAE．

Answer 1

證明：如圖，連AC，AD，BD，CE，如圖，
∵BC=CD=DE，
∠BCD=∠CDE=180°-2α，
∴△BCD≌△CDE．
∴∠CBD=∠CDB=∠DCE=∠DEC=α．
∴∠BCE=（180°-2α）-α=180°-3α，
又∵∠BAE=3α，
即有∠BAE+∠BCE=180°，
所以A，B，C，E共圓．
同理可得A，B，D，E也共圓，而過(guò)A，B，E的圓有且只有一個(gè)．
∴A，B，C，D，E共圓，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=α．
分析：連AC，AD，BD，CE，由BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=180°-2α，得到△BCD≌△CDE，則∠CBD=∠CDB=∠DCE=∠DEC=α，于是得到∠BCE=（180°-2α）-α=180°-3α，因此有∠BAE+∠BCE=180°，說(shuō)明A，B，C，E共圓，同理可得A，B，D，E也共圓，而過(guò)A，B，E的圓有且只有一個(gè)．即得A，B，C，D，E共圓，最后利用弦相等所對(duì)應(yīng)的圓周角相等證得∠BAC=∠CAD=∠DAE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理．同弧所對(duì)的圓周角相等，并且等于它所對(duì)的圓心角的一半．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定方法．