Question

13．如圖，已知AD為△ABC的高線，AD=BC，以AB為底邊作等腰Rt△ABE，連接ED，EC，延長CE交AD于F點，下列結(jié)論：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S_△BDE=S_△ACE，其中正確的有（　�。�

• A． ①③
• B． ①②④
• C． ①②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①易證∠CBE=∠DAE，即可求證：△ADE≌△BCE；
②根據(jù)①結(jié)論可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解題；
③證明△AEF≌△BED即可；
④易證△FDC是等腰直角三角形，則CE=EF，S_△AEF=S_△ACE，由△AEF≌△BED，可知S_△BDE=S_△ACE，所以S_△BDE=S_△ACE．

解答 解：①∵AD為△ABC的高線，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE，
在△DAE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠DAE=∠CBE}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
故①正確；
②∵△ADE≌△BCE，
∴∠EDA=∠ECB，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE⊥DE；
故②正確；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，
∴∠BDE=∠AFE，
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠BED=∠AEF，
在△AEF和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠AFE}\\{∠BED=∠AEF}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BED（AAS），
∴BD=AF；
故③正確；
④∵AD=BC，BD=AF，
∴CD=DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF=CE，
∴S_△AEF=S_△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S_△AEF=S_△BED，
∴S_△BDE=S_△ACE．
故④正確；
故選C．

點評 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BFE≌△CDE是解題的關(guān)鍵．