Question

如圖所示，拋物線y=（x+1）²+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）。
（1）求拋物線的對稱軸及k的值；
（2）拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是拋物線上的一動點(diǎn)，且在第三象限。
①當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到何處時，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點(diǎn)M的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）拋物線的對稱軸為：直線x=-1， ∵拋物線過點(diǎn)C（0，-3），則， ∴k=-4；
（2）如圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)P點(diǎn)在線段AC上就可使PA+PC的值最小，又因?yàn)镻點(diǎn)要在對稱軸上，所以P點(diǎn)應(yīng)為線段AC與對稱軸直線x=-1的交點(diǎn)， 由（1）可知，拋物線的表達(dá)式為：， 令y=0，則，解得：， 則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（-3，0）、B（1，0）， 設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b， 則解得： 所以直線AC的表達(dá)式為y=-x-3， 當(dāng)x=-1時，， 所以，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-2）；
（3）①依題意得： 當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到拋物線的頂點(diǎn)時，△AMB的面積最大， 由拋物線表達(dá)式可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-4）， △AMB的最大面積， ②如圖，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，連結(jié)AM、MC、CB， 點(diǎn)M在拋物線上，且在第三象限，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）， 則， 當(dāng)時，四邊形AMCB的面積最大，最大面積為， 當(dāng)時， ∴四邊形AMCB的面積最大時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）。