Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E，F(xiàn)在斜邊AB上，且∠ECF=45°．求證：AE²+BF²=EF²．

Answer 1

證明：把△CBF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACP．連接EP．
則△CBF≌△CAP．
∴BF=AP，CF=CP，∠CBF=∠CAP=45°．
∵∠ACB=90°，∠PCF=90°．
∴∠PCE=∠ECF=45°，
在△PCE和△FCE中，
，
∴△PCE≌△FCE（SAS）．
∴EF=EP，
又∵∠PAE=45°+45°=90°，
∴AE²+AP²=EP²，
即AE²+BF²=EF²．
分析：利用已知首先得出△PCE≌△FCE，即可把EF，AE，BF放到一個(gè)直角三角形中，從而根據(jù)勾股定理即可證明．
點(diǎn)評(píng)：考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，充分運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)找到相關(guān)的角和線段之間的關(guān)系．