Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，DF⊥DE交邊AC于點(diǎn)F．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)FC=x，BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）聯(lián)結(jié)EF，當(dāng)△DEF和△ABC相似時(shí)，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理可得出BC的長(zhǎng)度；
（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H，容易證得△ACB∽△EHB，△DFC∽△EDH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到兩個(gè)關(guān)于BH與EH的關(guān)系式，兩者結(jié)合可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H，設(shè)EH=3k，BE=5k，根據(jù)相似的性質(zhì)可求出k的值，在解題時(shí)要注意分類討論．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，
∵AB²=BC²+AC²，
∴BC=8．

（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H．
易得△ACB∽△EHB，
可得：

BC

AC

=

BH

EH

即：

8

6

=

BH

EH

…①
∵DF⊥DE
∴∠EDB+∠FDC=90°，
∵∠FDC+∠CFD=90°，
∴∠EDB=∠CFD
∵∠EHD=∠C=90°
∴△DFC∽△EDH，
可得：

CF

CD

=

DH

EH

，
即：

x

4

=

DH

EH

…②
結(jié)合①②，可得：BH=

64

3x+16

，
∵△ACB∽△EHB，
∴

BC

AB

=

BH

BE

，
即：

8

10

=

BH

y

，
∴y=

5

4

BH=

80

3x+16

，
∵其中F是在AC線段上的，
∴0≤x≤6．
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：y=

80

3x+16

（0≤x≤6）．

（3）過點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H．
易得△EHB∽△ACB
設(shè)EH=3k，BE=5k
∵△EHD∽△DCF
∴

EH

CD

=

DE

DF

，
當(dāng)△DEF和△ABC相似時(shí)，有兩種情況：
①

DE

DF

=

AC

BC

=

3

4

，
∴

EH

CD

=

3

4

，
即

3k

2

=

3

4

，
解得k=

1

2

，
∴BE=5k=

5

2

；
②

DE

DF

=

BC

AC

=

4

3

，
∴

EH

CD

=

4

3

，
即

3k

2

=

4

3

，
解得k=

8

9

，
∴BE=5k=

40

9

．
綜合①②，當(dāng)△DEF和△ABC相似時(shí)，BE的長(zhǎng)為

5

2

或

40

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的運(yùn)用，題目難度不小，具有一定的綜合性．解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得到邊長(zhǎng)的相似比，另外求兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意分類討論．