Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線(xiàn)上。∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm。如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí)，△DEF停止移動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng)。DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4.5）。
解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上？
（2）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由。（圖（3）供同學(xué)們做題使用）

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上， ∴AP=AQ， ∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°， ∴∠EQC=45°， ∴∠DEF=∠EQC， ∴CE=CQ， 由題意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t， ∴AQ=8-t， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm， 則AP=10-2t， ∴10-2t=8-t， 解得：t=2， 答：當(dāng)t=2s時(shí)，點(diǎn)A在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上； （2）過(guò)P作PM⊥BE，交BE于M， ∴∠BMP=90°， 在Rt△ABC和Rt△BPM中，， ∴， ∴PM=， ∵BC=6cm，CE=t， ∴BE=6-t， ∴y=S△ABC-S△BPE = =， ∵， ∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上， ∴當(dāng)t=3時(shí)，y最小=， 答：當(dāng)t=3s時(shí)，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm2； （3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上， 過(guò)P作PN⊥AC，交AC于N， ∴， ∵， ∴△PAN∽△BAC， ∴， ∴， ∴， ∵NQ=AQ-AN， ∴， ∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一條直線(xiàn)上， ∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ， ∵∠FQC=∠PQN， ∴△QCF∽△QNP， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：t=1， 答：當(dāng)t=1s，點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上。